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数学-线性代数-#6 线性代数-#6 向量空间、列空间、R^n与子空间

时间:2018-01-27 22:50:28      阅读:241      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

线性代数-#6 向量空间、列空间、Rn与子空间

 

让我们回想一下#1的内容,当我们在用向量的新视角看待线性方程组时,曾经提到以“向量的图像”作为代数学与几何学桥梁的想法。

而现在,让我们沿着这个想法深入探索下去,将其作为开启线性代数核心学习的钥匙。

引入新概念:向量空间。

什么是向量空间?我们把向量构成的空间叫做向量空间。

为了简化问题,我们先假定研究的对象是某个元素数为2或3的非零向量。

回归到向量的几何定义,一条有向的线段。这条线段会覆盖从起点到终点的区域。显然,这个区域不足以以“空间”命名。因为空间应具有如下两个特性:

1.包含很多元素;

2.封闭,即其中的元素无法突破空间的边界。

所以我们就从这两个方面开始下手,想办法让这个“区域”里的元素多起来,且成为一个封闭的系统。

从一个向量“衍生”出许多向量的方法是通过某种运算去“生成”。我们会想到运算结果仍然是向量的向量加法和数乘。

通过与任意实数数乘得到的向量,作出图来,都位于初始向量对应的线段所在的直线上。(包括零向量,这条直线通过零点)

任意取这些向量中的两个进行相加,结果也位于这条直线上。

所以我们得到了一个包含元素多又封闭的空间——一条经过原点的直线。这就是我们所说的一种“向量空间”。

 

现在我们将情况一般化。假定构成向量空间的向量为:

1.零向量?

容易想到这个空间就是原点。原点是否符合向量空间的要求呢?我们检验其封闭性。在这个空间内任意取两个元素,显然都是零向量。它们相加或乘以任意倍数的结果都还是零向量,仍包含在原点这个空间内。所以零向量构成的向量空间是原点。

这个检验方法对于原点好像有些无厘头,但是却可以有效地检验更大的疑似向量空间。

2.两个向量?

两个向量任意数乘和相加?换言之,这些运算的结果就是这两个向量的线性组合。假定这两个向量为二元或三元向量,根据数乘向量和向量加法的作图方法,我们可以想见,这所有的线性组合的图像,覆盖的空间是一个平面,且该平面一定经过原点(0乘任何数结果为0)。

3.多个向量?

多个向量和两个向量的情况没有本质的区别。只是我们可以用矩阵的形式去表示这多个向量。在矩阵中,每一列都是一个列向量。列向量的所有线性组合构成的空间,就是一个向量空间。我们给它起了一个别名——列空间。

4.元素数相同的所有向量?

之前的讨论中所使用的向量,都限定为二元或三元,这只是为了方便生活在三维世界中的我们想象和作图表示。可以想见,所有元素数为n的向量,构成的空间应该是整个的n维空间。我们用“Rn”这个记号去表示这个特殊的向量空间。其中R表示这些向量的元素都为实数,n代表向量所包含的元素数量也即空间的维数。

这个看起来很大的空间显然不是满足向量空间要求的最小空间,换言之,在向量空间这个层面上,它也是可分的。类比集合中子集的定义,我们把在这个空间内的与之等大或更小的向量空间称为子空间。举个例子:对于R3,从大到小,它所有可能的子空间有:

(1)自身:定义使然,没有为什么;

(2)过原点的平面:比如两个非零向量的线性组合构成的空间;

(3)过原点的直线:一个非零向量构成的空间;

(4)原点:零向量构成的空间。

当n>3时,我们可以确定的是原点和Rn自身一定是其最小和最大的子空间。至于中间大小的子空间,可能我们就不能用“平面”“直线”这样熟悉的模型去简单地描述了。

在下一课#7中,我们将带着这节课#6的成果,即对向量空间更清晰的认识,去重新审视我们的老朋友——Ax=b。

数学-线性代数-#6 线性代数-#6 向量空间、列空间、R^n与子空间

原文:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8367359.html

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