证明用到辗转相除相减法
定理一
- \(gcd(f[i],f[i+1])=1\)
证明：\(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[i+1]-f[i], f[i])=gcd(f[i-1], f[i])\)
递归下去，所以\(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[1], f[2]) = 1\)
定理二
- \(f[m+n]=f[m?1]f[n]+f[m]f[n+1]\)
证明：\(f[m+n] = f[m+n-1]+f[m+n-2]=f[m+n-2]+f[m+n-3]+f[m+n-3]+f[m+n-4]\)
\(=f[m+n-2]+2*f[n+m-3]+f[n+m-4]=3*f[n+m-3]+2*f[n+m-4]=......\)
找找规律就得到了\(f[m+n]=f[m?1]f[n]+f[m]f[n+1]\)不会正规证明
定理三
- \(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m])\)
证明：\(gcd(f[n+m], f[n])=gcd(f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1], f[n])\)
\(=gcd(f[m]f[n+1], f[n])=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m], f[n])=gcd(f[m], f[n])\)
拆开感觉不怎么对，别人说是这样的
定理四
- \(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)
证明：\(gcd(f[n], f[n+m])=gcd(f[n], f[m])\)
即:\(gcd(f[n], f[m+n]\%f[n])=gcd(f[n], f[(m+n)\%n])\)
这是辗转相除法的形式
最后肯定有\(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)