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陶哲轩实分析 3.3 节习题试解

时间:2017-08-10 20:35:49      阅读:390      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

陶哲轩实分析 习题解答

习题 3.3

3.3.1

(1) 证明自反性

?xX,f(x)=f(x)
所以 f=f

(2) 证明对称性
假设 f=g
那么 ?xX,f(x)=g(x)
所以 ?xX,g(x)=f(x)
所以 g=f

(3) 传递性
假设 f=g,g=h
那么有
?xX,f(x)=g(x) ?xX,g(x)=h(x)
所以?xX,f(x)=h(x)
所以 f=h

3.3.2

(1) 证明。当 fg 都是单射时。g°f 也是单射。
反证法: 设存在不同样的 x1x2,满足 (g°f)x1=(g°f)x2
已知 f 是单射。所以 f(x1)f(x2)
y1=f(x1)y2=f(x2)y1y2
那么 g(y1)=g(y2) 这与g 是单射矛盾。
所以g°f 也是单射。

(2) fg 是满射时,g°f 也是满射。


由于 g 是满射,所以对随意的 zZ, 存在 yY 使得 g(y)=z
由于 f 是满射,所以存在 xX 满足 f(x)=y
所以对于随意的 zZ 都存在 xX 满足 (g°f)(x)=z
所以g°f 是满射

3.3.3

空函数是 f:?X
X 是随意集合时,空函数都是单射。由于没有 x1?, x2?, x1x2 满足f(x1)=f(x2)

X=? 时,空函数是满射,也是双射。

3.3.4

(1) g 是单射,g°f=g°f~, 则 f=f~
反证法。若 ff~, 则存在 x 使得 f(x)f~(x)
y=f(x), y~=f~(x)
由于 g 是单射,所以 g(y)g(y~)
所以 (g°f)(x)=(g°f~)(x) 矛盾.
所以 f=f~

(2) f 是满射, g°f=g~°f. 则 g=g~
反证法: 若gg~ 则存在 y 满足 g(y)g~(y)
由于 f 是满射,所以存在 xX 满足 f(x)=y
那么 (g°f)(x)(g~°f)(x) 矛盾.
所以 g=g~

3.3.5

(1) g°f 是单射,则 f 是单射.
反证法: 若 f 不是单射,则存在不同样的 x1x2,满足 f(x1)=f(x2)=y
z=g(y)(g°f)(x1)=(g°f)(x2), 与 g°f 是单射矛盾.

(2)g°f 是满射,则 g 是满射.
反证法: 若 g 不是满射, 则存在 z0 没有不论什么 yY 满足 g(y)=z0
而我们又知道g°f 是满射,则存在 xX , 满足 (g°f)(x)=z0
y0=f(x) 那么就有 g(y0)=z0 矛盾.
所以 g 是满射

3.3.6

(1) 由于 f 是双射, 对随意的 xX, 都有唯一的yY 满足f(x)=y
f?1 的定义可知: f?1(y)=x
所以: (f?1°f)(x)=f?1(y)=x 对一切 xX 成立.

(2) 由于 f 是双射, 对随意的 yY 都有唯一的 xX 满足 f?1(y)=x
又有 f(x)=y. 所以 (f°f?1)(y)=y 对随意 yY都成立.
所以 f?1是可逆的,且逆为 f

3.3.7

先证明 g°f 是单射. (略)
再证明 g°f 是满射. (反证法, 略)

3.3.8

(a) 对一切 xXτXY(x)=x
对一切 xX?YτYZ(x)=x
所以有 一切 xX, (τYZ°τXY)(x)=x=τXZ(x)
表明: τYZ°τXY=τXZ

(b) 对一切 xAf°τAA(x)=f(x)
所以 f=f°τAA

对一切 xAτBB°f(x)=τBB(f(x))=f(x)
所以 τBB°f=f

所以f=f°τAA=τBB°f

(c) (易证,略)

(d) 反证法: 假设存在两个不同的函数 h1h2 满足 hi°τXX?Y=fhi°τYX?Y=g

那么必定存在一个 aX?Y 使得h1(a)h2(a)
分两种情况讨论:
aX 时:
h1°τXX?Y(a)=h1(a)
h2°τXX?Y(a)=h2(a)
所以:
h1°τXX?Y(a)h2°τXX?Y(a) 矛盾.

aY 时:
h1°τYX?Y(a)=h1(a)
h2°τYX?Y(a)=h2(a)
h1°τYX?Y(a)h2°τYX?Y(a) 矛盾

所以 仅仅有唯一的函数 h

陶哲轩实分析 3.3 节习题试解

原文:http://www.cnblogs.com/liguangsunls/p/7340901.html

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