$\bf证明$ 由于$m\left( {E\left( {{f_n} \nrightarrow f} \right)} \right) =
0$，则我们不妨设$\left\{ {{f_n}\left( x \right)} \right\}$处处收敛与$f(x)$，此时
E=?
m=1∞ ?n=m∞ E(|fn?f|<1k),k∈N+
记
Bm,k=?n=m∞ En,k =E(|fn?f|<1k,n≥m)
其中${E_{n,k}} = E\left( {\left| {{f_n} - f} \right| < \frac{1}{k}}
\right)$，则对于固定的$k$，${B_{m,k}}$是单调递增的集合列，并且$E = \bigcup\limits_{m = 1}^\infty
{{B_{m,k}}} $，所以我们有$m\left( E \right) = \lim \limits_{m \to \infty }
m\left( {{B_{m,k}}} \right)$，而$m\left( E \right) < \infty $，则对任给$\delta
> 0$，存在${n_k}\left( { > {n_{k - 1}}} \right)$，使得
令
F=?k=1∞ Bnk,k =E(|fn?f|<1k,n≥nk)
则我们有
m(E?F)=m(?k=1∞ (E?Bnk,k))≤∑k=1∞ m(E?Bnk,k) <δ
以及对任给的$\varepsilon > 0$，存在${k_0} > \frac{1}{\varepsilon }$，使得当$n
\ge {n_{{k_0}}}$时，对任意的$x \in F$，有
所以$\left\{ {{f_n}\left( x \right)} \right\}$在$F$上一致收敛于$f(x)$
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原文：http://www.cnblogs.com/ly758241/p/3764206.html
