John Morgan:黎曼几何概要

本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成

1. 联络，测地线，高斯映射
2. 曲率
3. 整体性质
4. 黎曼流形的极限

1. 黎曼曲面上的联络

黎曼流形 $(M^n,g)$ 中， $M$ 为 $n$ 维流形，而 $g$ 为正定的黎曼度量，即 $g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n)dx^i\otimes dx^j$ ，而 $(g_{ij})$ 是对称正定的。

$\nabla$ 是联络，它的定义域与值域为 $\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}}Vect(M)\times Vect(M)$ ，也即将两个 $M$ 上的向量场映射到 $M$ 上的向量场，即 $\nabla_X(Y)\in Vect(M)$ .且满足如下三条性质：

• 线性性，即关于 $X$ 的 $f\in C^{\infty}(M)$ 线性，有 $\nabla_{fX+Y}(Z)=f\nabla_{X}(Z)+\nabla_{Y}(Z)$
  但是注意到关于第二个值并没有 $C^{\infty}M)$ 线性，就是 $\nabla_X(fY)=f\nabla_X(Y)+X(f)\cdot Y$

• $X(\langle Y_1,Y_2\rangle)=\langle \nabla_X(Y_1),Y_2\rangle+\langle Y_1,\nabla_X(Y_2)\rangle$ ,这表示

（开坑施工中。。）

John Morgan:黎曼几何概要

原文：http://www.cnblogs.com/misaka01034/p/JMRiemannGeometry.html