矩阵的迹
在线性代数中，一个
的矩阵
的迹（或迹数），是指的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作
或
：
其中
代表矩阵的第i行j列上的元素的值[1]。一个矩阵的迹是其特征值的总和（按代数重数计算）。
迹的英文为trace，是来自德文中的Spur这个单字（与英文中的Spoor是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”或“tr”。
设有矩阵：
它的迹是：
= 3 + 9 + 4 = 16
给定一个环
，迹是一个从系数在环中的矩阵的空间
射到环之上的线性算子。也就是说，对于任两个的矩阵、
和标量
，都有：
[2]
更进一步来说，当是一个域时，迹数函数
是矩阵的空间上的一个线性泛函。
由于一个矩阵的转置矩阵
的主对角线元素和原来矩阵的主对角线元素是一样的，所以任意一个矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹[2]：
矩阵乘积的迹数
设A是一个
矩阵，B是个
矩阵，则：
[2]
其中
是一个矩阵，而
是一个
矩阵。
上述的性质可以由矩阵乘法的定义证明：
如果都是的方形矩阵，那么它们的乘积和也会是方形矩阵。因此，利用这个结果，可以推导出：计算若干个同样大小的方形矩阵的乘积的迹数时，可以循环改变乘积中方形矩阵相乘的顺序，而最终的结果不变</math>[2]。例如，有三个方形矩阵、和
，则：
[3]
但是要注意：
[3]
更一般地，乘积中的矩阵不一定要是方形矩阵，只要某一个循环改变后的乘积依然存在，那么得到的迹数依然会和原来的迹数相同[2]。
另外，如果、和是同样大小的方阵而且还是对称矩阵的话，那么其乘积的迹数不只在循环置换下不会改变，而且在所有的置换下都不会改变：
http://blog.sciencenet.cn/blog-357889-616860.html
原文：http://www.cnblogs.com/jason-wyf/p/5866423.html