51NOD 1120 机器人走方格 V3（卢卡斯定理 + 非降路径）

传送门

N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。
Input
输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。
Output
输出走法的数量 Mod 10007。
Input示例
4
Output示例
10
解题思路：
从左上做到右下只能向右护着向下走，就是相当于从左下走到右上的一条非降路径，然后中间加了一些障碍，其实就是从$(1,1)$ 走到 $(n,n)$ 点不能碰到对角线的非降路径。直接套公式：
$\frac{2}{n}*C(2*(n-1),n-1)$
因为 $n$ 太大了，而取模的数不是很大，很容易想到 $Lucas$ 定理。然后就是敲代码了，都是套路，求的是 还需要求一下 $MOD$ 关于 $n$ 的逆元，但是没有逆元的情况怎么求呢 好像没有这样的数据。

$My$ $Code$：

/**
2016 - 08 - 05 下午
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，
以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。
**/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INF = 1e9+5;
const int MAXN = 1e6+5;
const LL MOD = 1e4+7;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1);
using namespace std;
LL quick_mod(LL a, LL b, LL c)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ans = (ans*a)%c;
        b>>=1;
        a = (a*a)%c;
    }
    return ans;
}
LL fac[MAXN];
void Get_Fac(LL m)///m!
{
    fac[0] = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        fac[i] = (fac[i-1]*i) % m;
}
LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
{
    LL ans = 1;
    while(n && m)
    {
        LL a = n % p;
        LL b = m % p;
        if(a < b)
            return 0;
        ans = ( (ans*fac[a]%p) * (quick_mod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p)) ) % p;
        n /= p;
        m /= p;
    }
    return ans;
}
void Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    LL x1, y1;
    Exgcd(b, a%b, x1 ,y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a/b)*y1;
}
int main()
{
    Get_Fac(MOD);
    LL n;
    while(cin>>n)
    {
        LL x, y;
        Exgcd(n, MOD, x, y);
        x = (x%MOD+MOD)%MOD;
        x<<=1LL;
        LL ans = Lucas(2*n-2, n-1, MOD);
        ans = (ans*x)%MOD;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}