2的正幂末尾数的模式

2的正幂 — 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … — 末尾数字遵循一个显而易见的规律: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … . 这4个数字永远循环下去。最末尾数以外还有循环 — 实际上是最末m位 — 从2^m 开始的2的幂。例如，从04开始最末两位数就存在一个长度20的循环，同时从008开始最末3位数就存在一个长度100的循环。

本文，我将告诉你为什么会有这些循环，它们有多长，如何表达为数学形式，如何看见它们。

最末尾数的循环

末位数-所在位置-是十进制整数d在d/10后的余数。等价地，末位数是d mod 10的结果，根据约定取最小非负值-普通余数-作为返回结果。模运算，持续叠加到2的幂运算，得到末位数的循环：

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. …

我们从2开始，取10的模，再乘以2，再对10取模，等等。可知此模式将循环，直到先前的一个结果-2再次出现在第五步-循环确认。这展现了数字 2ⁿ, n ≥ 1, 末位数在四个数字 2, 4, 8, 和 6间循环。

这循环告诉我们，末尾数相同的2的幂是有关联的，它们的指数相差4：

• Ends in 2: 2¹, 2⁵, 2⁹, 2¹³, 2¹⁷, … .
• Ends in 4: 2², 2⁶, 2¹⁰, 2¹⁴, 2¹⁸, … .
• Ends in 8: 2³, 2⁷, 2¹¹, 2¹⁵, 2¹⁹, … .
• Ends in 6: 2⁴, 2⁸, 2¹², 2¹⁶, 2²⁰, … .

你可以使用指数运算规则来更简洁地描述，展示所有2的幂中末位数有规律的前4个：

• Ends in 2: 2¹·2^4k, or 2^1+4k, k ≥ 0.
• Ends in 4: 2²·2^4k, or 2^2+4k, k ≥ 0.
• Ends in 8: 2³·2^4k, or 2^3+4k, k ≥ 0.
• Ends in 6: 2⁴·2^4k, or 2^4+4k, k ≥ 0.

也可以按照指数对4取模的结果来对2的幂建立联系：

• Ends in 2:
• Ends in 4:
• Ends in 8:
• Ends in 6:

这就很容易知道任意2的正幂的末位数是几。例如， 2³¹⁹ 的末位数是 8, 因为 .

小结，表格告诉我们，如果 , .

末两位数的循环

类似的分析，只是对100取模，展示2的幂的末两位数，从 2² 开始，循环周期是20:

末三位的循环

为了找出末三位数的循环，重复上面的过程，对1000取模。下面展示了2的幂的末三位，从 2³开始，循环周期是100：

末m位数循环

2的正幂的末m位数循环要对10^m取模，循环周期是 4·5^m-1, 始于 2^m. (具体证明涉及到数论，超出了本文的范围）

周期增长飞快-指数级增长-所以无法列出m大于3的列表。

循环的嵌套（Nesting of Cycles）

对于末m位，m-1位，m-2位， …, 末1位的循环，可以看做是嵌套的，尽管它们的起始点是交错的。你只需将较小的起始数补零，就能让它们对齐。

例如，在长度是100的末三位循环中，包含了5次长度是20的末两位循环；每一个长度是20的末两位循环包含5次长度为4的最末位循环。你从8（需移动两位）开始观察就能发现最末位的规律，末两位的规律始于08（需移动一位），末三位的规律始于008（不需移位）。

下表标出了嵌套的循环（全部100行都被标记，因为只有100个2的幂-末三位的一个循环-被列出）。

Nested 1-3 Digit Ending Patterns From 2³ to 2¹⁰²

使用PARI/GP探索末位循环

我使用PARI/GP 来进行上面的计算和验证。下面是三个例子：

• 列出前20个末位是2的2的幂:

  ? for (i=0,19,print("2^",1+4*i,": ",2^(1+4*i)))
  2^1: 2
  2^5: 32
  2^9: 512
  2^13: 8192
  2^17: 131072
  2^21: 2097152
  2^25: 33554432
  2^29: 536870912
  2^33: 8589934592
  2^37: 137438953472
  2^41: 2199023255552
  2^45: 35184372088832
  2^49: 562949953421312
  2^53: 9007199254740992
  2^57: 144115188075855872
  2^61: 2305843009213693952
  2^65: 36893488147419103232
  2^69: 590295810358705651712
  2^73: 9444732965739290427392
  2^77: 151115727451828646838272
  

• 列出末两位的循环( ‘%’ 号返回余数，等价于取模运算):

  ? for (i=2,21,print("2^",i," mod(100): ",2^i % 100))
  2^2 mod(100): 4
  2^3 mod(100): 8
  2^4 mod(100): 16
  2^5 mod(100): 32
  2^6 mod(100): 64
  2^7 mod(100): 28
  2^8 mod(100): 56
  2^9 mod(100): 12
  2^10 mod(100): 24
  2^11 mod(100): 48
  2^12 mod(100): 96
  2^13 mod(100): 92
  2^14 mod(100): 84
  2^15 mod(100): 68
  2^16 mod(100): 36
  2^17 mod(100): 72
  2^18 mod(100): 44
  2^19 mod(100): 88
  2^20 mod(100): 76
  2^21 mod(100): 52
  

  (单位的数字这里没有前补零)

• 打印末位1到10位数的周期长度:

  ? for (i=1,10,print(i,": ",4*5^(i-1)))
  1: 4
  2: 20
  3: 100
  4: 500
  5: 2500
  6: 12500
  7: 62500
  8: 312500
  9: 1562500
  10: 7812500
  

2的正幂末尾数的模式

原文：http://www.cnblogs.com/sirlipeng/p/5391096.html