(转)样本方差的期望

首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有


由此可得
.

因此是方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！
这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。

现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值替换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢？后果就是，
如果直接使用作为估计，那么你会倾向于低估方差！
这是因为：

换言之，除非正好，否则我们一定有
,
而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！
这个不等式说明了，为什么直接使用会导致对方差的低估。

那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母换成，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：


至于为什么分母是而不是或者别的什么数，最好还是去看真正的数学证明，因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”；暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。