【随机过程】随机过程之泊松过程的直观理解

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泊松过程一个经典的case是这样子的：

一条工艺装配线，由若干个元件构成，消耗品，每个元件都会损坏并更换。元件的更换就是一个泊松过程，N(t) = n表示从0到t的时间里元件更换了n次，t为观测点，那么$S_{N(t)}$表示的是第n次更换元件的时刻，而$S_{N(t)+1}$表示的是第n+1次更换元件的时刻，那么$X_n=S_{N(t)+1}-S_{N(t)}$则表示元件的寿命，对应 $t-S_{N(t)}$表示元件的工作时间或者年龄称之为$v(t)$，而$S_{N(t)+1}-t$则表示剩余寿命。

关于泊松过程的概念核心理解：

def 1:
增量独立性，增量服从泊松分布；
def 2:
增量平稳，增量独立，增量普通性

def 1 <=> def 2

这里的增量独立性表示增量区间没有交叠的增量概率分布独立，也就不相关，然后乘积的期望等于期望的乘积；
增量服从泊松分布，均值和方差都为$\lambda t$，$\lambda$为发生速率。

增量平稳指的是增量的概率分布只与间隔s和发生的次数n有关。
增量的普通性说明的就是同一时间发生两件事情是不可能的。

能够记住上面这些概念以及说的这个经典的case就足够理解泊松过程了。

2015-10-21课程笔记 张朋艺