【随机过程】随机过程之泊松过程的推广

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泊松过程的两个定义

def 1:
计数过程，增量独立，增量服从泊松分布；
def 2:
增量独立，增量平稳，增量的一般性（足够小的时间里事情发生的次数超过1件的概率是时间段的一个高阶无穷小量）。

两个概念是等同的。

泊松过程的建模

稀有时间，短时间内为小概率事件，但长期看来却具有一定的发生速率，可以用泊松过程来其进行建模。直接对应到相关的元件由于损耗，被替换，被替换的次数N（t）服从泊松分布，而两次相邻事件发生的间隔即元件的寿命是服从指数分布，而第n件事情达到的时刻为Sn。

非时齐的泊松过程

指的是$\lambda$，发生速率不再是一个constant，而是一个被称为强度函数的$\lambda(t)$来表示，其余条件不变，说明的是增量不再平稳，但仍旧独立，仍旧具有增量的一般性。通常对于较小的时间段，可以被视为时齐的泊松过程，其发生速率可以通过近似的求取该时间段强度函数的期望。

复合泊松过程

用两个例子说明：

1. 粒子流能量问题 粒子数为泊松过程，Yi表示第i个到达粒子的能量，其t时间内到达粒子的总能量即为复合泊松过程。
2. 商场的营业额 商场的顾客数为一个泊松过程，每个顾客消费的概率为[0 3000]均匀分布，那么营业额即为复合泊松过程。

说明两点，一个是顾客消费与顾客到达的数量是独立的；二是在一般的推导中，可以使用条件期望，利用全期望公式进行复合泊松过程的期望的求解。

2015-10-26课程笔记 张朋艺