一道反常积分的计算题

时间：2014-04-07 12:13:08 阅读：506 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

计算

\int + \infty 0 1 1 + x 6 d x

$\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1+x^6}\,dx$

解答:本题可以利用一个结论

\int + \infty 0 x p ? 1 1 + x d x = Γ (p) Γ (1 ? p) = π sin ( π p ), 0 < p < 1

$\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{p-1}}{1+x}\,dx=\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)},\quad 0<p<1$

因此

\int + \infty 0 1 1 + x 6 d x = 1 6 \int + \infty 0 t 1 6 ? 1 1 + t d t (t = x 6) = 1 6 Γ (1 6) Γ (5 6) = 1 6 \times π sin ( π 6 ) = π 3

$\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1+x^6}\,dx=\dfrac{1}{6}\int_0^{+\infty} \dfrac{t^{\frac{1}{6}-1}}{1+t}\,dt(t=x^6)=\dfrac{1}{6}\Gamma(\dfrac{1}{6})\Gamma(\dfrac{5}{6})=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{\pi}{\sin(\dfrac{\pi}{6})}=\dfrac{\pi}{3}$

同时也可以用留数来解答:函数$\dfrac{1}{1+{{x}^{6}}}$有6个一阶极点：${{a}_{k}}={{e}^{\frac{\left( 2k+1 \right)\pi }{6}i}}$. 当$k=0,1,2$时，$\operatorname{Im}{{a}_{k}}>0$.

所以有

\int + \infty 0 1 1 + x 6 d x = 1 2 \int + \infty ? \infty 1 1 + x 6 d x = π i \sum Im a k > 0 Res z = a k 1 1 + x 6 = π i \sum k = 0 2 Res z = a k 1 1 + x 6 = π i (1 6 a 5 0 + 1 6 a 5 1 + 1 6 a 5 2) = = π i 6 (? a 0 ? a 1 ? a 2) = π 3

$\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{1+{{x}^{6}}}dx}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{1+{{x}^{6}}}dx}=\pi i\sum\limits_{\operatorname{Im}{{a}_{k}}>0}^{{}}{\underset{z={{a}_{k}}}{\mathop{\operatorname{Res}}}\,\frac{1}{1+{{x}^{6}}}} =\pi i\sum\limits_{k=0}^{2}{\underset{z={{a}_{k}}}{\mathop{\operatorname{Res}}}\,\frac{1}{1+{{x}^{6}}}}=\pi i\left( \frac{1}{6a_{0}^{5}}+\frac{1}{6a_{1}^{5}}+\frac{1}{6a_{2}^{5}} \right)==\frac{\pi i}{6}\left( -{{a}_{0}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)=\frac{\pi }{3}$

一道反常积分的计算题,布布扣,bubuko.com

一道反常积分的计算题

原文：http://www.cnblogs.com/ymshuibingcheng/p/3647530.html

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