(2016石家庄质检一)已知函数$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+2\ln x$.
解析：(1).$f‘(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x}(x>0)$，所以：
当$x\in (0,1)$时，$f‘(x)>0$，$f(x)$单调递增；
当$x\in (1,2)$时，$f‘(x)<0$，$f(x)$单调递减；
当$x\in (2,+\infty)$时，$f‘(x)>0$，$f(x)$单调递增；
所以,$f(x)$增区间为:$(0,1)$,$(2,+\infty)$;减区间为:$(1,2)$.
(2).由(1)知$0<x_1<1<x_2<2<x_3$，所以$x_1+2>2,x_3>2$,又$f(x)$在$(2,+\infty)$单调递增，所以
$x_3-x_1<2 \Longleftrightarrow x_3<x_1+2$
$ \Longleftrightarrow f(x_3)<f(x_1+2)$
$\Longleftrightarrow f(x_1)<f(x_1+2) (\because f(x_1)=f(x_3) )$
$\Longleftrightarrow \ln(1+\dfrac {2}{x_1})+x_1-2>0(0<x_1<1)$
$\Longleftrightarrow \ln(1+t)+{2}{t}-2>0(t>2) $ (令$t=\dfrac{2}{x_1}$)
令$g(t）=\ln(1+t)+\dfrac{2}{t}-2(t>2)$, 由$g‘(t)=\dfrac{t^2-2t-2}{(t+1)t^2}=0$得$x=\sqrt{3}+1$,所以
当$x\in(2,\sqrt{3}+1)$时，$g‘(t)<0$，$g(t)$为减函数，当$x\in(\sqrt{3}+1,+\infty)$时，$g‘(t)>0$，$g(t)$为增函数.
所以 $g(t)_{\min}=g(\sqrt{3}+1)=\ln(2+\sqrt{3})+\sqrt{3}-3>0.$
所以 $x_3-x_1<2.$
原文：http://www.cnblogs.com/mathsabc/p/4842470.html