积分题1之来自G.Han的一道积分题

今天，收到G.Han的提问，第一个是计算积分

\[\int_0^\infty  {\ln x\frac{{dx}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}{x^2}} \right)}^n}}}}  = \frac{{\Gamma \left( {n - \frac{1}{2}} \right)\sqrt \pi  }}{{4\left( {n - 1} \right)!{a^{2n - 1}}b}}\left[ {2\ln \frac{a}{{2b}} - C - \psi \left( {n - \frac{1}{2}} \right)} \right]\qquad \text{ $a>0,b>0$ }.\]

其中 $C$  为Euler-Mascheroni常数, $\psi(x)$ 为Digamma 函数，有：

第二题是个重要的Steffensen积分不等式

设 $f,g\in \mathcal{R}[a,b]$ ，且 $f$ 在 $[a,b]$ 单减, $0<g(x)\leq1$ ，求证：

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积分题1之来自G.Han的一道积分题

原文：http://www.cnblogs.com/Eufisky/p/3633291.html